La forma general de la función veritativa

[Trabajo presentado para obtener la calificación intermedia del curso de Filosofía de la Acción en la FFyL de la BUAP, circa 2004]

La forma general de la función veritativa es una variable que expresa el miembro general de una serie de formas. Las funciones veritativas pueden ordenarse en una serie de formas debido a que todas son resultado de la aplicación sucesiva de una operación veritativa. La expresión del miembro general de la serie de formas veritativas nos permite expresar la proposición general “q es un sucesor de p”. Cualquier función veritativa es un sucesor de las proposiciones elementales. La notación de la forma general de la función veritativa puede leerse según esta convención.

[p, (

p: toda proposición elemental.
(cualquier función veritativa.
N(negación de cualquier función veritativa.
p es el comienzo de la serie de formas veritativas, ( es la forma de un miembro cualquiera de esa misma serie y N(es la forma del miembro de la serie que sigue inmediatamente a ( El comienzo de la serie de formas veritativas son las proposiciones elementales, un miembro cualquiera de la serie de formas es una función veritativa y el miembro que le sigue a esa forma es una negación de ella.
Las operaciones veritativas hacen expresas las relaciones entre las estructuras de las proposiciones. Estas relaciones se hacen expresas cuando ponemos a una proposición como resultado de una operación que la obtiene a partir de otra. Las operaciones veritativas son operaciones que tienen por base proposiciones elementales y funciones veritativas de proposiciones por resultado.
El sentido de una función veritativa de p es una función del sentido de p. Negación, suma lógica, producto lógico, etc. Son operaciones. (La negación invierte el sentido de la proposición.)” (5.2341) La proposición compuesta es una función del sentido de las proposiciones simples porque hace expresas sus condiciones veritativas. La operación trabaja con las condiciones veritativas de la proposición.
Las condiciones veritativas de la proposición son la expresión de la coincidencia y no coincidencia de las posibilidades veritativas de las proposiciones elementales. “Las posibilidades veritativas de las proposiciones elementales significan las posibilidades del darse y no darse efectivos de los estados de cosas.” (4.3) Las posibilidades veritativas de las proposiciones elementales son las condiciones de verdad y falsedad de la proposición. La coincidencia y no coincidencia de las posibilidades veritativas de las proposiciones se expresa en un signo proposicional de la forma (VVFV), por ejemplo. El número de miembros de esta expresión está determinado por el número de argumentos veritativos (proposiciones elementales) de la función veritativa (cuyo significado está expresado por tal signo) mediante la formula 2n. La proposición es la expresión de sus condiciones veritativas. La función “pq” se puede expresar así: (VVFV)(p,q).
Como decíamos, la operación veritativa trabaja con las condiciones veritativas de la proposición.
Toda función veritativa es el resultado de la aplicación sucesiva de la operación (---V)(a las proposiciones elementales. Esta operación niega todas las proposiciones en el paréntesis derecho y la llamo la negación de esas proposiciones.”(5.5)
Esta operación puede escribirse así N’( el guión sobre xi expresa que la negación es de todos los valores de xi y la comilla junto a ene significa un número variable de aplicaciones de la operación. Xi es una variable para proposiciones. La descripción de los valores de xi puede ser de tres modos. Estipulación por enumeración; dando una función (x);f(x) cuyos argumentos sean los valores a describir o dando una ley formal que construye tales valores. En el caso de la forma general de la función veritativa la norma formal por la que se construyen las proposiciones que son todos valores de (es la negación conjunta.
La serie de condiciones veritativas para dos argumentos veritativos puede ordenarse como resultado de tal operación. Todas estas condiciones están construidas así y para ver la transición de una de ellas a otra usamos la forma general de la operación que es [((Lo único que dice esta ecuación es que toda operación ( puede concebirse como la negación conjunta de unas proposiciones y otra proposición nueva. Esta nueva proposición pasa a ser la base de las operaciones.
Por ejemplo, la función veritativa de p(VFVF) puede concebirse como parte de la serie de formas partiendo de los argumentos veritativos no-p y q. (Recordemos que condiciones veritativas idénticas expresadas por distintos signos tienen el mismo significado, de ahí que puedan sustituirse unas por otras. Introduzco el signo N() en la serie de formas arbitrariamente para resaltar el hecho de que las bases de esta serie de formas son q y no-p).

(VFVF)(p,q)=[(FVFV)(p,q),N’()]4(q)=[(VVFF)(p,q),(FVFV)(p,q),N’(),(FVFF)(p,q)(VFVV)(p,q),(FVFV(p,q),(VFVF(p,q)]=[N’N’q,N’p,N’(N’N’q,N’p),N’(N’(N’N’q,N’p)),N’(N’(N’(N’N’q,N’p)),N’p),N’N’(N’(N’(N’N’q,N’p)),N’p)]=[q,p,qp,(q.p),(qq)p,(qp).p]

Cualquier función de dos argumentos (p,q) es la aplicación de la operación [(FVFV)(p,q), N’( )] a q un número distinto de veces.
La forma general de la función veritativa se parece a la forma general del número (y por ello también a la del número natural) porque la notación de Wittgenstein para los miembros generales de una serie de formas es similar no importa de qué serie de formas se trate. “La serie de los números no está ordenada por una relación externa, sino por una relación interna.”(4.1252) Las series de formas están ordenadas por relaciones propias de los signos que expresan tales formas. A diferencia de una serie de personas ordenadas según la relación “x más alto que y” estas series están relacionadas por sus propiedades formales. En el caso de los números la serie de formas tiene por expresión del miembro general [x, ’x] y según las normas sígnicas de 6.02 (x: x Def., x: x Def.) la expresión se puede escribir así [0x, x, x]. Esto dice que la serie de números comienza por un miembro al que no se le ha aplicado ninguna operación, la forma del miembro n es la forma del resultado de una operación y el siguiente es la forma de la operación aplicada al miembro anterior. El número es el exponente de una operación.
La serie de formas se escribiría así: x, ’x,’x, ’x,... o así: 0x,0+1x,0+1+1x, ... El modo en que la matemática se expresa es por medio de igualdades, e.d. seudo-proposiciones. La ecuación expresa (mas no afirma) la identidad de significado de sus miembros, la ecuación es una norma sígnica. El número natural tiene la forma [0, +1] de ahí que se definan así:

0+1=1 Def.
0+1+1=2 Def.
0+1+1+1=3 def. (etc.)

No podemos responder a la pregunta por la existencia de otra serie de formas relevante pues esto implica que tiene sentido afirmar las propiedades formales de los conceptos formales que constituyen parte de esa serie de formas. Por otra parte, el concepto “miembro de una serie de formas” es también un concepto formal, y por eso se expresa en una variable. El método por el cuál se descubren estos conceptos es convirtiendo una expresión (ausdrüch) en una variable proposicional. Los signos que expresan las variables proposicionales de la forma general de la función veritativa son los signos variables para las funciones materiales y sus argumentos. (“Donde hay composición hay argumento y función, y donde están los dos últimos están ya todas las constantes lógicas. Cabría decir: la única constante lógica es lo que todas las proposiciones tienen, por su naturaleza, en común unas con otras. Pero esto es la forma general de la proposición.”5.47) Ciertamente la función material es una función veritativa de sí misma pues expresa sus condiciones de verdad. (Recordemos cómo elaboramos la función veritativa de p.) La proposición elemental (los argumentos veritativos de cualquier proposición) es escrita por nuestro filósofo como función de los nombres (x,y,z....) así : “fx” o se las denota con las letras antes usadas: p, q, r. Estos signos son variables proposicionales. En el caso de la forma general del número los signos usados son símbolos numéricos, e.d. expresiones que tienen por significado números. El signo funcional muestra que es símbolo para una función, el signo numérico muestra que es el símbolo para un número, la variable suelta muestra que es símbolo de un nombre, etc. No cabe expresar los valores de las variables proposicionales como los argumentos de una función material pues sería un procedimiento circular; los valores de tales variables se distinguen “[p]orque cada variable representa una forma constante que poseen todos sus valores y que puede ser concebida como propiedad formal de estos valores” (4.1271) De haber otra serie de formas relevante podríamos distinguirla por un grupo de símbolos relacionados entre sí por algo constante entre ellos.

Cabe aclarar que ni las funciones ni los números ocurren en la proposición como términos con sentido pues ellos mismos designan variables proposicionales. Las proposiciones que hacen uso de ellos en forma expresa son absurdas. Los números ocurren en la proposición como expresión de la cantidad de nombres variables en ella, por ejemplo: “Hay dos objetos tales que ...” El simbolismo correcto de esto es: E(x,y).Fxy. No cabe usar ningún término que designe un concepto formal como concepto genuino. Claro que usar el término “forma general de la función veritativa” como concepto genuino es también absurdo, no cabe pues establecer la identidad del significado de este concepto con otro concepto genuino, por ejemplo, el principio de verificación.

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