La forma general de la función veritativa
[Trabajo presentado para obtener la calificación intermedia del curso de Filosofía de la Acción en la FFyL de la BUAP, circa 2004]
La forma general de la función veritativa es una
variable que expresa el miembro general de una serie de formas. Las
funciones veritativas pueden ordenarse en una serie de formas debido
a que todas son resultado de la aplicación sucesiva de una operación
veritativa. La expresión del miembro general de la serie de formas
veritativas nos permite expresar la proposición general “q es un
sucesor de p”. Cualquier función veritativa es un sucesor de las
proposiciones elementales. La notación de la forma general de la
función veritativa puede leerse según esta convención.
[p,
(
p:
toda proposición elemental.
(cualquier
función veritativa.
N(negación
de cualquier función veritativa.
p es el comienzo de la serie de formas veritativas, (
es la forma de un miembro cualquiera de esa misma serie y N(es
la forma del miembro de la serie que sigue inmediatamente a (
El comienzo de la serie de formas veritativas son las proposiciones
elementales, un miembro cualquiera de la serie de formas es una
función veritativa y el miembro que le sigue a esa forma es una
negación de ella.
Las operaciones veritativas
hacen expresas las relaciones entre las estructuras de las
proposiciones. Estas relaciones se hacen expresas cuando ponemos a
una proposición como resultado de una operación que la obtiene a
partir de otra. Las operaciones veritativas son operaciones que
tienen por base proposiciones elementales y funciones veritativas de
proposiciones por resultado.
“El sentido de
una función veritativa de p
es una función del sentido de p.
Negación, suma lógica, producto lógico, etc. Son operaciones. (La
negación invierte el sentido de la proposición.)” (5.2341) La
proposición compuesta es una función del sentido de las
proposiciones simples porque hace expresas sus condiciones
veritativas. La operación trabaja con las condiciones veritativas de
la proposición.
Las condiciones
veritativas de la proposición son la expresión de la coincidencia y
no coincidencia de las posibilidades veritativas de las proposiciones
elementales. “Las posibilidades veritativas de las proposiciones
elementales significan las posibilidades del darse y no darse
efectivos de los estados de cosas.” (4.3) Las posibilidades
veritativas de las proposiciones elementales son las condiciones de
verdad y falsedad de la proposición. La coincidencia y no
coincidencia de las posibilidades veritativas de las proposiciones se
expresa en un signo proposicional de la forma (VVFV),
por ejemplo. El número de miembros de esta expresión está
determinado por el número de argumentos veritativos (proposiciones
elementales) de la función veritativa (cuyo significado está
expresado por tal signo) mediante la formula 2n.
La proposición es la expresión de sus condiciones veritativas. La
función “pq”
se puede expresar así: (VVFV)(p,q).
Como decíamos, la
operación veritativa trabaja con las condiciones veritativas de la
proposición.
“Toda
función veritativa es el resultado de la aplicación sucesiva de la
operación (---V)(a
las proposiciones elementales. Esta operación niega todas las
proposiciones en el paréntesis derecho y la llamo la negación de
esas proposiciones.”(5.5)
Esta operación
puede escribirse así N’(
el guión sobre xi
expresa que la negación es de todos los valores de xi
y la comilla junto a ene
significa un número variable de aplicaciones de la operación. Xi
es una variable para proposiciones. La descripción de los valores de
xi
puede ser de tres modos. Estipulación por enumeración; dando una
función (x);f(x)
cuyos argumentos sean los valores a describir o dando una ley formal
que construye tales valores. En el caso de la forma general de la
función veritativa la norma formal por la que se construyen las
proposiciones que son todos valores de (es
la negación conjunta.
La serie de
condiciones veritativas para dos argumentos veritativos puede
ordenarse como resultado de tal operación. Todas estas condiciones
están construidas así y para ver la transición de una de ellas a
otra usamos la forma general de la operación ’que
es [(’(Lo
único que dice esta ecuación es que toda operación (’
puede concebirse como la negación conjunta de unas proposiciones y
otra proposición nueva. Esta nueva proposición pasa a ser la base
de las operaciones.
Por ejemplo, la
función veritativa de p(VFVF)
puede concebirse como parte de la serie de formas partiendo de los
argumentos veritativos no-p
y q.
(Recordemos que condiciones veritativas idénticas expresadas por
distintos signos tienen el mismo significado, de ahí que puedan
sustituirse unas por otras. Introduzco el signo N()
en la serie de formas arbitrariamente para resaltar el hecho de que
las bases de esta serie de formas son q
y no-p).
(VFVF)(p,q)=[(FVFV)(p,q),N’()]4(q)=[(VVFF)(p,q),(FVFV)(p,q),N’(),(FVFF)(p,q)(VFVV)(p,q),(FVFV(p,q),(VFVF(p,q)]=[N’N’q,N’p,N’(N’N’q,N’p),N’(N’(N’N’q,N’p)),N’(N’(N’(N’N’q,N’p)),N’p),N’N’(N’(N’(N’N’q,N’p)),N’p)]=[q,p,qp,(q.p),(qq)p,(qp).p]
Cualquier
función de dos argumentos (p,q) es la aplicación de la operación
[(FVFV)(p,q),
N’(
)] a q
un número distinto de veces.
La forma general de
la función veritativa se parece a la forma general del número (y
por ello también a la del número natural) porque la notación de
Wittgenstein para los miembros generales de una serie de formas es
similar no importa de qué serie de formas se trate. “La serie de
los números no está ordenada por una relación externa, sino por
una relación interna.”(4.1252) Las series de formas están
ordenadas por relaciones propias de los signos que expresan tales
formas. A diferencia de una serie de personas ordenadas según la
relación “x más alto que y” estas series están relacionadas
por sus propiedades formales. En el caso de los números la serie de
formas tiene por expresión del miembro general [x,
’x]
y según las normas sígnicas de 6.02
(x: x
Def., ’x:
x
Def.) la expresión
se puede escribir así [0x,
x,
x].
Esto dice que la serie de números comienza por un miembro al que no
se le ha aplicado ninguna operación, la forma del miembro n
es la forma del resultado de una operación y el siguiente es la
forma de la operación aplicada al miembro anterior. El número es el
exponente de una operación.
La serie de formas
se escribiría así:
x, ’x,’’x,
’’’x,...
o así: 0x,0+1x,0+1+1x,
... El modo en que la
matemática se expresa es por medio de igualdades, e.d.
seudo-proposiciones. La ecuación expresa (mas no afirma) la
identidad de significado de sus miembros, la ecuación es una norma
sígnica. El número natural tiene la forma [0,
+1]
de ahí que se definan así:
0+1=1 Def.
0+1+1=2 Def.
0+1+1+1=3
def. (etc.)
No
podemos responder a la pregunta por la existencia de otra serie de
formas relevante pues esto implica que tiene sentido afirmar las
propiedades formales de los conceptos formales que constituyen parte
de esa serie de formas. Por otra parte, el concepto “miembro de una
serie de formas” es también un concepto formal, y por eso se
expresa en una variable. El método por el cuál se descubren estos
conceptos es convirtiendo una expresión (ausdrüch) en una variable
proposicional. Los signos que expresan las variables proposicionales
de la forma general de la función veritativa son los signos
variables para las funciones materiales y sus argumentos. (“Donde
hay composición hay argumento y función, y donde están los dos
últimos están ya todas las constantes lógicas. Cabría decir: la
única constante lógica es lo que todas las proposiciones tienen,
por su naturaleza, en común unas con otras. Pero esto es la forma
general de la proposición.”5.47) Ciertamente la función material
es una función veritativa de sí misma pues expresa sus condiciones
de verdad. (Recordemos cómo elaboramos la función veritativa de p.)
La proposición elemental (los argumentos veritativos de cualquier
proposición) es escrita por nuestro filósofo como función de los
nombres (x,y,z....) así : “fx” o se las denota con las letras
antes usadas: p, q, r.
Estos signos son variables proposicionales. En el caso de la forma
general del número los signos usados son símbolos numéricos, e.d.
expresiones que tienen por significado números. El signo funcional
muestra que es símbolo para una función, el signo numérico muestra
que es el símbolo para un número, la variable suelta muestra que es
símbolo de un nombre, etc. No cabe expresar los valores de las
variables proposicionales como los argumentos de una función
material pues sería un procedimiento circular; los valores de tales
variables se distinguen “[p]orque cada variable representa una
forma constante que poseen todos sus valores y que puede ser
concebida como propiedad formal de estos valores” (4.1271) De haber
otra serie de formas relevante podríamos distinguirla por un grupo
de símbolos relacionados entre sí por algo constante entre ellos.
Cabe
aclarar que ni las funciones ni los números ocurren en la
proposición como términos con sentido pues ellos mismos designan
variables proposicionales. Las proposiciones que hacen uso de ellos
en forma expresa son absurdas. Los números ocurren en la proposición
como expresión de la cantidad de nombres variables en ella, por
ejemplo: “Hay dos objetos tales que ...” El simbolismo correcto
de esto es: E(x,y).Fxy.
No cabe usar ningún término que designe un concepto formal como
concepto genuino. Claro que usar el término “forma general de la
función veritativa” como concepto genuino es también absurdo, no
cabe pues establecer la identidad del significado de este concepto
con otro concepto genuino, por ejemplo, el principio de verificación.
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