El Tractatus de acuerdo a Tarski
[Ponencia presentada en el Encuentro Nacional de Estudiantes y Pasantes de Filosofía, “Releyendo a Wittgenstein”, UNAM, D. F., México, 2007. Esta versión en línea tiene actualmente problemas de visualización de las fórmulas que la hacen ilegible. Pretendo irlos subsanando.]
es
el conjunto más pequeño que se puede construir con la aplicación de 1 y 2 un
número finito de veces. N será
considerada el símbolo de una operación algebraica del mismo tipo y los
elementos de
serán
los términos adecuados para esa operación. Llamaremos entonces álgebra de las
fórmulas
al álgebra de tipo dos
cuyos generadores son los elementos de Var.
¿Qué apariencia tiene
?
El Tractatus de acuerdo a Tarski
Resumen:
Este trabajo consta de dos partes. En la parte “lingüística” expongo el Tractatus de Wittgenstein utilizando los
estudios sintácticos y semánticos de Tarski. Primero presento el tipo de
semántica del Tractatus al
distinguirla del concepto de semántica formal. Después organizo las propiedades
sintácticas que, de acuerdo a Wittgenstein, tienen las proposiciones
aprovechando los lineamientos de Tarski para presentar un sistema deductivo.
Explico mis elecciones para tomar ciertas partículas como “alfabeto” de la
lógica presentada en el Tractatus,
así como para las reglas de formación de las fórmulas (
y las reglas de
transformación. En la parte “matemática” presento la lógica del Tractatus como un par
= á
ñ.
Primero construyo el álgebra de las fórmulas
utilizando la negación
conjunta como la única operación sobre el conjunto de generadores
y
describo su comportamiento mediante una regla de sequentes (NC). Después defino
el tipo de consecuencia lógica en
investigando las
propiedades que tiene
debido a NC. Por último hablo sobre las
similitudes entre
y otras formas de
presentar algebraicamente la lógica del Tractatus.
Palabras
Clave: Tractatus,
Tarski, semántica, sintaxis, relación de consecuencia.
Objetivos
generales
Lo que este trabajo pretende
demostrar en su primera parte es que se pueden organizar mediante una sola
teoría las interpretaciones correctas del propósito y contenido del Tractatus. Russell, por ejemplo,
consideraba que el objetivo de al menos un segmento de la obra del primer
Wittgenstein era construir un lenguaje lógicamente perfecto. Al otro lado del
espectro interpretativo tenemos la opinión de sentido común según la cual el Tractatus es todo un sistema filosófico:
metafísica, epistemología, lógica, matemática, ciencia y hasta una ética. Me
parece que la teoría adecuada para esta tarea es la presentación clásica de
Tarski sobre las propiedades de los lenguajes y sistemas deductivos formales.[i]
La segunda parte
del trabajo presenta a la lógica del Tractatus
como una estructura matemática. Utiliza el método de Tarski para visualizar
un sistema deductivo como un álgebra de fórmulas y una relación de consecuencia
asociada a ésta.
Para de una vez usar el lenguaje de este
Wittgenstein, cabría decir que la primera parte debe mostrar su pertinencia,
mientras la segunda solo puede ser correcta o incorrecta. No creo que podamos
obtener mayor suficiencia a partir de la presentación a lá Tarski de la lógica del Tractatus.
El resultado de tal procedimiento solo es un conjunto de aclaraciones.
La parte
“lingüística”
Semántica
Según Tarski, un leguaje
semánticamente abierto debe tener al
menos una estructura totalmente especificada. Esto nos permite saber de
antemano si incluye términos semánticos. Los únicos lenguajes así condicionados
son los formales. A pesar de que Wittgenstein y Tarski entendían de manera
distinta el término “estructura”, el lenguaje que se describe en el Tractatus es un lenguaje formal.[ii] Efectivamente
esto nos permite saber que entre sus expresiones no hay nombres de expresiones
ni términos semánticos. En cierta medida las razones de Wittgenstein para excluir
tales expresiones son similares a las de Tarski. Para el primero, las
expresiones autorreferenciales son absurdas, mientras que para el segundo,
algunas, las negaciones autorreferenciales, son contradictorias. Si
consideramos que las contradicciones son absurdas, entonces para ambos un lenguaje
debía ser semánticamente abierto a menos que quisiera ser absurdo. Y sin
embargo, la apertura semántica del lenguaje descrito en el Tractatus no le provee de una interpretación a lá Tarski porque adolece de un metalenguaje donde se definan los
conceptos semánticos.
Alguien
podría argumentar que si interpretamos las proposiciones sobre objetos, estados
de cosas, el mundo y la figura lógica, que aparecen en el Tractatus, como proposiciones semánticas, y no como metafísicas u
ontológicas, las contradicciones desaparecen. Por ejemplo, la postura
anti-metafísica que permea la obra no se vería menoscabada por la presunción de
que Wittgenstein habla de objetos como se habla de otras entidades
especulativas. La determinación
arbitraria de qué objeto particular designa un nombre particular es algo que no
se puede derivar a partir del análisis lógico del nombre, pero sí efectivamente
que ha de designar algo. Es decir, Wittgenstein no habla de los objetos de la
Física o del sentido común, sino de los valores
semánticos de los nombres.[iii] ¿Vale
la pena despreciar la base de la teoría de modelos para salvar la consistencia
del Tractatus?
La necesidad de poseer definiciones
de términos semánticos es la misma necesidad de poseer definiciones de
cualquier término que no sea primitivo. Alguien podría argumentar que
expresiones como 3.203 (“El nombre significa al objeto. El objeto es su
significado”) pueden trabajar como definiciones intencionales de términos
semánticos al darnos el criterio mediante el cual relacionar la clase de las
expresiones con la de los valores semánticos.[iv]
Esto sería correcto si ambas clases estuvieran definidas en el Tractatus.
Si Russell tenía razón y
Wittgenstein habló mucho de aquello que debemos callar, lo hizo de manera
imprecisa. Dicho sea de paso: muy por debajo de la expectativa que tenía
Wittgenstein sobre su propio trabajo.
Sintaxis
Según Tarski, podemos presentar un
lenguaje con una estructura totalmente especificada definiendo el léxico, formulando
las reglas de formación de las expresiones, escogiendo las primeras
aseveraciones y las reglas de transformación para generar nuevas afirmaciones. Wittgenstein
no consideraba que pudieran enunciarse tales reglas a pesar de que, según me
parece, creía que así debía construirse un lenguaje formal. Por ejemplo, podemos representar la relación que tiene una expresión particular con las
proposiciones en las que puede ocurrir de
un modo sintácticamente correcto por medio de una variable cuyos valores
sean las proposiciones que contienen a la expresión (3.312, 3.313).[v]
Lo curioso es que estas variables eran extraídas de
un lenguaje interpretado. Es decir, aunque ambos autores están de acuerdo en
qué son las variables proposicionales (el léxico del lenguaje), Wittgenstein
consideraba que las reglas de formación de las expresiones estaban implícitas
en el lenguaje interpretado, solo había que, por así decirlo, aclararlas
mediante la sustitución de los diferentes elementos de la oración por
variables. Esta diferencia puede atenuarse si tomamos lenguajes matemáticos
como punto de arranque. Difícilmente podemos encontrarnos ecuaciones que no
obedezcan a la sintaxis lógica.
Alguien
podría argumentar que dados esos supuestos, la regla de transformación de las
aseveraciones en el Tractatus se
llama “forma general de la proposición” puesto que la operación que utiliza, la
negación conjunta, efectivamente nos permite pasar de una fórmula a otra hasta
cubrirlas todas. No obstante, esto obvia que deseamos conocer la conexión entre
las aseveraciones de un lenguaje y no la forma más general de conectar las oraciones
entre sí. Me parece que podemos visualizar la regla de transformación que
utiliza el Tractatus aprovechando la
presentación “tipo Tarski” de la Lógica del Tractatus.[vi]
Conclusión
de la primera parte
Alguien podría argumentar que la
teoría semántica del Tractatus está fuertemente
enraizada en su teoría de la sintaxis, pues las oraciones tienen sentido, y
gracias a ello podemos determinar sus referencias, según Wittgenstein, porque
obedecen a la sintaxis lógica. Pero como ya vimos, la sintaxis no existe, según
el Tractatus, sin el uso
significativo del signo, sin el símbolo. Este resultado es una invitación
atractiva a la especulación: ¿qué tan equivalentes son semántica y sintaxis en
el Tractatus? ¿Tan equivalentes como
en la lógica clásica de primer orden?
La
parte “matemática”
La presentación “tipo Tarski” de la Lógica del
Tractatus
La presentación tipo Tarski de una lógica
es una herramienta de la teoría abstracta de las lógicas algebraicas [Abstract Algebraic Logic]. Consiste en
presentar una lógica como una relación de consecuencia entre conjuntos de
fórmulas de un lenguaje. Sirve para relacionar propiedades algebraicas con
propiedades meta-lógicas, aunque se puede utilizar para definir reglas al
estilo Gentzen y propiedades modelo-teoréticas.
El primer paso para construir el álgebra
de las fórmulas permitidas en el Tractatus
es definir un lenguaje lógico
como un conjunto de conectivas lógicas con una
aridad mayor a 0.
, en este caso, es un conjunto de un solo
elemento, la N del Tractatus, llamada negación conjunta, cuya aridad es 2. Dado este lenguaje
lógico y el conjunto contable infinito de variables proposicionales (Var) se definen las fórmulas permitidas
en el Tractatus de manera inductiva:
1.- Todo elemento de Var es una fórmula.
2.- Toda secuencia de dos fórmulas antecedida por un miembro del
lenguaje lógico, es una fórmula.[vii]
Dejamos
la anterior discusión en un punto interesante. ¿Cuál es la regla de
transformación que acepta el Tractatus?
Me parece que el candidato ideal es la llamada forma general de la operación W’(h)
que según Wittgenstein es: [x,
N(x)]
(h) = [h,
x,
N(x)].
En castellano esta ecuación dice que “la transición” de una proposición a otra
es igual a la negación de ambas. Cuando aplicamos la operación a una nueva
proposición, la convertimos en el primer miembro de una serie de formas
construida por la negación conjunta. Se ha complicado concebir en esto una
lógica porque las explicaciones de esta transición encuentran contradicciones. Sugiero
sustituir el símbolo de la identidad con el de la co-implicación. Así pues aunque
ciertamente la negación de dos tautologías sea una contradicción, “la
transición” de tal a la otra es una tautología.
Sea
, donde V es igual a verdad lógica y F
igual a falsedad lógica, interpretada como
y
la contradicción desaparece.
Consideremos que
.
tendrá entonces las siguientes
propiedades:
a) Clausura:
b) Conmutatividad:
c) Absorción:
d) Complementación
con respecto a los límites
e) Cero
es el elemento neutro para N,
La
relación de consecuencia
sobre
En
términos generales una fórmula y
es derivable de un conjunto D
mediante una regla
si
hay una sustitución s :
Var ®
tal que s[y]
= j
y s
D.
Para describir el comportamiento básico de una regla NC que capture a N tenemos que seleccionar un conjunto
de axiomas. Según Wittgenstein, las bases de las operaciones de las cuales se
siguen las demás proposiciones son las proposiciones elementales. Llamaremos a
ese conjunto X. NC tiene entonces las siguientes
propiedades:
Introducción
de la hipótesis:
si
j
y s
G
Introducción
de la disyunción en el consecuente:
Co-implicación:
y si:
Y
Irónicamente NC sería
una regla derivada de estas:
Negación conjunta:
La sustitución sigma nos permite pasar
del conjunto de axiomas a cualquier otro conjunto, o dicho de otra manera,
sigma funciona como abreviación de un esquema axiomático y una regla de
sustitución.[viii]
Sea
de
tal manera que para cualquier conjunto de fórmulas GÍÃ
) y cualquier fórmula j
Î
, G
j ssi j
es derivable de G. Entonces
tiene las propiedades clásicas:
1. Para
cualquier subconjunto X
Fm, si
. La prueba es inmediata pues justificamos
el paso Xa mediante la primera
propiedad de NC.
2. Para
cualesquiera subconjuntos Y y X de Fm,
si
. Solo podemos derivar Yb si X Í
Y y b
, y de igual manera esto es inmediato
pues la pertenencia es transitiva.
Conclusión
de la segunda parte
Una forma de ahorrarse el paso por las
reglas de sequentes consistiría en considerar un operador Cw tal que a Î
Cw (X)
ssi
y
trabajar sobre la consecuencia de Fm.
Me parece que el ahorro sería simplemente práctico pues obtendríamos resultados
muy similares. Falta probar si NC produce una relación de consecuencia
finitaria y estructural, en el sentido de Ɫoś y Suszko. Por otro lado, valdría
la pena considerar qué propiedades tengan las álgebras cocientes Fm/=.
¿Constituyen un álgebra Lindenbaum-Tarski? Hasta donde alcanza este intento, las
propiedades particulares de la lógica del Tractatus
no llegan a afectar en gran medida el resultado final.
Referencias:
Alfred
Tarski, The semantical conception of truth and the foundations of semantics, EN
Philosophy and Phenomenological Research,
4 (1944).
----------------,
(1930) “Uber einige fundamentale Begriffe der
Metamathematik”, EN C. R. Soc. Sci. Lettr.
Varsovie, Cl. III 23, p. 22-29, Polonia. Versión en inglés EN Alfred Tarski,
Logic, Semantics, Metamathematics, Papers form 1923 to 1938, Hackett, Estados
unidos.
Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, Madrid, Alianza
Editorial, Segunda reimpresión en Ensayo, 2001
Josep María
Font (2003) “Generalized Matrices on Abstract Algebraic Logic” EN Trends in Logic, no. 21, pp. 57–86,
Kluwer Academic Publishers, Holanda.
J. M. Font, R.
Jansana y D. Pigozzi (2003) “A Survey of Abstract Algebraic Logic” EN Studia
Logica, no. 74, pp. 13-97, Kluwer Academic Publishers, Holanda.
[i] Por ejemplo, Alfred
Tarski, The semantical conception of truth and the foundations of semantics, EN
Philosophy and Phenomenological Research,
4 (1944).
[ii] Para decirlo con el lenguaje de Wittgenstein: Tarski creía que los
componentes de la estructura de un lenguaje podían expresar conceptos genuinos
y por ello tener distintas extensiones. Por ejemplo, la forma “función” sería
distinta en el lenguaje del álgebra booleana sin átomos y la atómica por tener
distintas instancias. Para Wittgenstein esto era absurdo porque consideraría a
la noción “función” como un concepto formal.
A pesar de la discrepancia con relación al término estructura, ambos
coincidían en qué era un lenguaje formal.
“If in specifying the structure of a language we refer
exclusively to the form of the expressions involved, the language is said to be
formalized.” Alfred Tarski, Opus citus, 6 LANGUAGES WITH A SPECIFIED STRUCTURE.
“3.33 La sintaxis lógica no permite que el significado de un
signo juegue en ella papel alguno; tiene que poder ser establecida sin mentar
el significado de un signo; ha de
presuponer sólo la descripción de las
expresiones.” Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, Madrid, Alianza Editorial, Segunda
reimpresión en Ensayo, 2001.
[iii] En el trabajo La teoría de la proposición en
el Tractatus de Wittgenstein. (Presentado en las
segundas jornadas “Leibniz” de Filosofía, Abril 2005,
FFyL, BUAP) he expuesto varios ejemplos de este tipo.
[v] Para utilizar el lenguaje del segundo Wittgenstein: El aspecto
medicinal de interpretar la teoría de las expresiones de Wittgenstein con el
lenguaje de Tarski consiste quitarle el sabor esotérico a todo el asunto de la
“forma lógica”.
[vi] Extraigo la expresión “estilo Tarski” del artículo de Josep María
Font (2003) “Generalized Matrices on Abstract Algebraic Logic” EN Trends in Logic, no. 21, pp. 57–86,
Kluwer Academic Publishers, Holanda. Sustituye a la expresión “estilo polaco” y
se debe al trabajo clásico de Tarski (1930)
“Uber einige fundamentale Begriffe der Metamathematik”, EN C. R. Soc. Sci. Lettr. Varsovie, Cl. III
23, p. 22-29, Polonia. Utilizo el texto del propio J. M. Font, R. Jansana y D.
Pigozzi (2003) “A Survey of Abstract Algebraic Logic” EN Studia Logica, no. 74,
pp. 13-97, Kluwer Academic Publishers, Holanda., como guía para la presentación
algebraica de la lógica del Tractatus.
[vii] Según Russell, Wittgenstein utiliza el método de Skolem para
presentar las “oraciones generales” como disyunciones o conjunciones. A mí, en
lo particular, no me queda claro dónde se expresa eso en el Tractatus.
[viii] Con el trato mediante sequentes no quiero sugerir que el algebra Fm sea un cálculo natural. Lo que deseo
es tener un modo más visual de obtener las propiedades de
. Si efectivamente
fueran dos cosas del todo distintas, me parece que el sistema sería algebraizable
pues valdría el siguiente teorema de completitud, donde los elementos indexados
pertenecen a Fm:
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